Думаю, за деньги напишет, если ему предложить их так, чтобы никто не слышал.
Если будет колебаться, просто положите максимально вежливо ему в карман денежку. Хотя, если это коммерческая вет. клиника, то, скорее всего, он просто сам назовет цену. И потом, клиник в Москве много. Можно объездить. Если не согласен доктор - не делать прививку, а просто поехать в другую клинику.
Только если заартачится, тогда можно попробовать и по-тихому.